twoSum问题的核心思想

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twoSum问题的核心思想

Two Sum 系列问题在 LeetCode 上有好几道，这篇文章就挑出有代表性的几道，介绍一下这种问题怎么解决。

TwoSum I

这个问题的最基本形式是这样：给你一个数组和一个整数 target，可以保证数组中存在两个数的和为 target，请你返回这两个数的索引。
比如输入 nums = [3,1,3,6], target = 6，算法应该返回数组 [0,2]，因为 3 + 3 = 6。
这个问题如何解决呢？首先最简单粗暴的办法当然是穷举了：

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int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) 
        for (int j = i + 1; j < nums.length; j++) 
            if (nums[j] == target - nums[i]) 
                return new int[] { i, j };
    // 不存在这么两个数
    return new int[] {-1, -1};
}

这个解法非常直接，时间复杂度 O(N^2)，空间复杂度 O(1)。
可以通过一个哈希表减少时间复杂度：

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int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    int n = nums.length;
    index<Integer, Integer> index = new HashMap<>();
    // 构造一个哈希表：元素映射到相应的索引
    for (int i = 0; i < n; i++)
        index.put(nums[i], i);
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int other = target - nums[i];
        // 如果 other 存在且不是 nums[i] 本身
        if (index.containsKey(other) && index.get(other) != i)
            return new int[] {i, index.get(other)};
    }
    
    return new int[] {-1, -1};
}

这样，由于哈希表的查询时间为 O(1)，算法的时间复杂度降低到 O(N)，但是需要 O(N) 的空间复杂度来存储哈希表。不过综合来看，是要比暴力解法高效的。
我觉得 Two Sum 系列问题就是想教我们如何使用哈希表处理问题。我们接着往后看。

TwoSum II

这里我们稍微修改一下上面的问题。我们设计一个类，拥有两个 API：

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class TwoSum {
    // 向数据结构中添加一个数 number
    public void add(int number);
    // 寻找当前数据结构中是否存在两个数的和为 value
    public boolean find(int value);
}

如何实现这两个 API 呢，我们可以仿照上一道题目，使用一个哈希表辅助 find 方法：

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class TwoSum {
    Map<Integer, Integer> freq = new HashMap<>();
    public void add(int number) {
        // 记录 number 出现的次数
        freq.put(number, freq.getOrDefault(number, 0) + 1);
    }
    
    public boolean find(int value) {
        for (Integer key : freq.keySet()) {
            int other = value - key;
            // 情况一
            if (other == key && freq.get(key) > 1)
                return true;
            // 情况二
            if (other != key && freq.containsKey(other))
                return true;
        }
        return false;
    }
}

进行 find 的时候有两种情况，举个例子：
情况一：add 了 [3,3,2,5] 之后，执行 find(6)，由于 3 出现了两次，3 + 3 = 6，所以返回 true。
情况二：add 了 [3,3,2,5] 之后，执行 find(7)，那么 key 为 2，other 为 5 时算法可以返回 true。
除了上述两种情况外，find 只能返回 false 了。
对于这个解法的时间复杂度呢，add 方法是 O(1)，find 方法是 O(N)，空间复杂度为 O(N)，和上一道题目比较类似。
但是对于 API 的设计，是需要考虑现实情况的。比如说，我们设计的这个类，使用 find 方法非常频繁，那么每次都要 O(N) 的时间，岂不是很浪费费时间吗？对于这种情况，我们是否可以做些优化呢？
是的，对于频繁使用 find 方法的场景，我们可以进行优化。我们可以参考上一道题目的暴力解法，借助哈希集合来针对性优化 find 方法：

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class TwoSum {
    Set<Integer> sum = new HashSet<>();
    List<Integer> nums = new ArrayList<>();
    public void add(int number) {
        // 记录所有可能组成的和
        for (int n : nums)
            sum.add(n + number);
        nums.add(number);
    }
    
    public boolean find(int value) {
        return sum.contains(value);
    }
}

这样 sum 中就储存了所有加入数字可能组成的和，每次 find 只要花费 O(1) 的时间在集合中判断一下是否存在就行了，显然非常适合频繁使用 find 的场景。

三、总结

对于 TwoSum 问题，一个难点就是给的数组无序。对于一个无序的数组，我们似乎什么技巧也没有，只能暴力穷举所有可能。
一般情况下，我们会首先把数组排序再考虑双指针技巧。TwoSum 启发我们，HashMap 或者 HashSet 也可以帮助我们处理无序数组相关的简单问题。
另外，设计的核心在于权衡，利用不同的数据结构，可以得到一些针对性的加强。
最后，如果 TwoSum I 中给的数组是有序的，应该如何编写算法呢？答案很简单，前文「双指针技巧汇总」写过：

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int[] twoSum(int[] nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.length - 1;
    while (left < right) {
        int sum = nums[left] + nums[right];
        if (sum == target) {
            return new int[]{left, right};
        } else if (sum < target) {
            left++; // 让 sum 大一点
        } else if (sum > target) {
            right--; // 让 sum 小一点
        }
    }
    // 不存在这样两个数
    return new int[]{-1, -1};
}

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